数学分析八讲（修订版）

　　辛钦经典修订再版，本次修订改正了一些错误，由译者新增加了一些注解 短短八讲，涉及连续统、极限、函数、级数、导数、积分、函数的级数展开以及微分方程等主题，不仅让你了解数学分析的概貌，更让你领会数学分析的精髓 书中选材独到，叙述深入浅出，即使是只学过非常简单的数学分析课程的人也能容易地阅读和理解 -无论你是工程师、经济学者、数学教师，还是学习数学分析课程的大学生（包括非数学专业的大学生），阅读本书都能获益匪浅

　　短短八讲，不仅让你了解数学分析的概貌，更让你领会数学分析的精髓。这本由苏联数学家和数学教育家辛钦潜心编著的经典教材，思路清晰，引人入胜，全面梳理了数学分析的主要内容，涉及连续统、极限、函数、级数、导数、积分、函数的级数展开以及微分方程等主题。 本书原是作者在国立莫斯科大学为工程师授课的教案。书中选材独到，叙述深入浅出，即使是只学过**简单的数学分析课程的人也能容易地阅读和理解。而以此为基础，你可以更好地学习数学分析相关主题更为深入的内容。无论你是工程师、经济学者、数学教师，还是学习数学分析课程的大学生（包括非数学专业的大学生），阅读本书都能获益匪浅。 本书根据苏联国立技术理论书籍出版社1948年第三版译出，本次修订改正了一些错误，新增加了一些注解。

　　Α. Я. 辛钦（A. Я. Хинчин，1894－1959），苏联数学家、数学教育家，现代概率论的奠基人之一，莫斯科概率学派的开创者。1939年当选为苏联科学院通讯院士，1944年当选为俄罗斯教育科学院院士。共发表了一百五十多种数学及数学史论著，在函数的度量理论、数论、概率论、信息论等方面都有重要的研究成果。在数学中以他的名字命名的有：辛钦定理、辛钦不等式、辛钦积分、辛钦条件、辛钦可积函数、辛钦转换原理、辛钦单峰性准则等。著有《数学分析简明教程》、《数学分析八讲》、《数论的三颗明珠》、《连分数》、《概率论浅说》（合著）、《公用事业理论的数学方法》等。

中文版再版序
原版第三版前言
原版第一版前言
第一讲　连续统
第二讲　极限
第三讲　函数
第四讲　级数
第五讲　导数
第六讲　积分
第七讲　函数的级数展开
第八讲　微分方程
译后记

　　原版第一版前言
　　高等数学教程在相当多的高等院校里都或多或少要讲授。所有的工科院校以及大部分军事院校、农业院校和经济院校的学生们都了解数学分析的基础，更不用说综合大学以及师范院校专门系科的学生了。所有这些在各类学校讲授的教程不仅在其范围上，而且在其赖以建立的原则、思想以及逻辑的基础上都十分不同。另一方面，从本质上讲，只有综合大学的教程才达到了较为可靠的科学水平，其余的则不得不进行压缩，只能满足或局限于科学观远远落后于现代科学的思想-逻辑基础，而有时由于大纲的限制，只能满足于有限的教学要求。
　　然而我们却时常遇到这样的情况：工程师、教师、经济学家原来是依照那种简易的教程来学习高等数学的，现在开始感觉需要拓宽自己的数学知识，且先要有更加牢固的基础。这种需要可能产生于该专家在其专业领域内的某个具体的研究，或者是由于一般的拓宽科学和生活视野而必然提出来的——不管怎样，这个要求当然应当得到满足。乍看起来，做到这一点很简单： 拿一本完整的数学分析教程，如Немыцкий的1或者Фихтегольц的2，然后凭借自己已有的不太牢固、不太深刻的知识来系统地钻研它。但是 经验表明，这个看似自然的途径几乎从来就不能达到目的，除少数例外，都会让学习者失望，时常就放弃了按此既定方向继续尝试。问题在于，一方面，我们的学生为自己提出的目标一般只安排了十分有限的时间，因此研究多卷的大教程是不可能的。另一方面，可能是最重要的，他还没有坚实的科学基础且不是专业的数学家，没有人指导，不可能自己从研究中区分出哪些是原则性的内容，因而可能会以全部精力注意于没有实质意义的微不足道的小事上，最终迷失方向。就像俗话所说的，只见树木，不见森林。
　　然而要完全满足这类学生的要求和需要，其实所需非常有限。几年前，我有机会在国立莫斯科大学讲授了一门专门为此目的而设的课程，总共12讲，每讲两小时，学生则是想要提高自己数学水平的工程师们。应当承认，起初我对此项任务几乎毫无信心，然而后来我不得不承认，我的课程满足了学生们的要求，尽管它很简略。取得这个成功的诀窍在于，我找到了解决摆在我面前的教学难题的秘诀：从一开始就拒绝了充分详细地讲授本课程哪怕只是某一章的想法，而只限于讲授那些具有原则性、扼要、突出、具体且使人有难忘印象的发展。我讲的更多的是关于目的和趋势、问题和方法、基本的分析概念之间的以及它们与应用之间的关系，而不是个别的定理及其证明。我宁愿在许多情况下抛开不具有原则意义的证明细节（有时是一连串定理及其证明），而让我的学生去看教科书。但要是为阐明某个有着主导作用和原则意义的概念、方法或者思想，我则不吝时间，力求用各种手段，通过各种各样的表述、直观形象等，尽可能明白而有效地把这些基本内容灌输给我的学生。我坚信：有了这种修养，他们每一个人在需要更深入地研究数学分析的某一章节时，就能够独立地找到他所需的材料，然后进行研究。也就是说，可以自立地区分主要和次要、本质和非本质。
　　通过同个别或一组学生进行的许多次谈话以及课堂授课，我确信自己所选择的道路是唯一正确的道路。我愿借此机会指出： 大课堂上坐满了学习本课程的工程师，他们大多数直到课程结束都没有退席，这充分证明了工程师们广泛存在着要求提高自己数学知识水平的愿望。
　　这本书与我刚刚提到的那门课程都是为了同一目的，并且力求以同样的方法来实现它，因而一开始就应当告知读者： 你在这里找不到大学数学分析教程的完整表述，或者哪怕是本课程个别选定章节的完整表述。我给自己提出的任务仅仅是给出数学分析的一般的、尽可能容易了解和记忆的基本思想、基本概念和基本方法的概述。这种概述对任何人都是容易阅读和掌握的，即使是只学过最简单的数学分析课程的人。而且一旦掌握了它，它就能使你任意并独立地研究本课程的任何一部分、任何一章的所有细节。
　　我相信，国立大学数学系的许多学生阅读本书也能带来实质性的收益。问题在于，无论是教科书还是讲座，自然要受到大纲和时间的限制，只可能充分注意原则问题的讨论，而对阐述具体问题的所有细节必然有所限制。然而，谁都知道，有时撇开树木来观察森林是多么有好处。我希望本书能对某些未来的数学家，首先是着手研究数学分析的人有所帮助。

　　“如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么变量y称为变量x的函数。”这句话可以用来开启高等数学领域的大门：借助于这句话我们可以定义最重要的、最首要的数学分析概念——函数关系。在此概念中，已经奠定了借助数学工具来把握自然现象和技术过程的完整思想的萌芽。这就是为什么我们必须毫不含糊地要求这个定义有完全的、无可指责的明确性，其中的每一个字都不应有引起一点怀疑的阴影。在此，极小的一点歧义都可能危及所构筑的庄严的大厦。这个大厦就是科学，它就是以此概念为基础建造起来的，而歧义会使得这座大厦不完善，需要从根本上重建。
　　同时，在对开始时的那个简单表述做进一步研究时，我们发现在许多地方含义不明并且容许不同的解释。我们在这里只注意这种不清楚的地方，因为恰恰是试图把这一点最后弄清楚，才把我们紧紧地引向了今天的讲义内容。
　　我们的定义包含了这样的字眼：“对于变量x的每一个值”。为了不留下任何含糊之处，我们必须无条件地向大家解释清楚术语“变量的值”的意义。更重要的是，定义中说到的是“每一个值”。由此得知：要想充分了解这个定义，只掌握变量x的某些个别值的概念是不够的。最要紧的是，应当完全精密地理解这些值的整个集合，整个的“储备”，对于这些值中的任何一个都应当有一个确定的变量y的值与之对应。我们应当了解在数学分析中，称为已知函数的“定义域”的是什么东西。
　　什么是变量的个别值？我们知道，这就是数。如果是这样，则所有这些值的集合就是某些数的集合——某个所谓的数集。这个集合是什么样的？它包含什么样的数？我们从一开始就排除了虚数，而假设所有的变量x和变量y的值都是实数。那么所有的实数都可以作为变量x的值吗？如果不是，那么什么样的值可以，什么样的值不可以呢？
　　关于所有这一切，我们的定义里没有说，但这是可以理解的，因为不可能对所有函数使用同一方式回答这个问题（实质上，甚至对同一个函数在不同的问题中也不行）。函数的定义域既取决于该函数的性质，也取决于那些特定的问题，正是为了解决这些问题，我们才在当前的研究中需要这个函数。因为很容易明白，同一个函数在不同的问题中是对不同的自变量值进行研究的。对所有这一切，我们知道许多例子。例如函数y=x!只对正整数x研究才有意义（至少在初等数学范围内）;函数y=\lg~x只对x>0有意义，等等。可以容易地想出这类例子，其中函数的自然定义域会是结构十分复杂的数集。
　　但如果我们自问：在数学分析本身及其应用中，最常见的变量x的值的集合是什么样的？则应该说：绝大多数情况下，函数的这类定义域是“区间”（闭的或开的），即介于两个已知数之间的所有实数的集合（包含或者除去这两个数或其中之一）。有时这个区间成为半直线（例如x>0），这就表明，变量x的值的集合是大于（或者小于）某个数的所有实数的集合（有时条件＞或＜要代之以条件\geqslant或者\leqslant）。最后，还有这样的情形，即区间变成整个直线，即变量x的值可以是所有的实数。这时则说函数的定义域是整个实轴或者“数直线”。
　　无论如何，对于数学分析中的函数而言，函数在其上发展且展现其个别特点的域、场地——函数在其中才能成为自然科学和技术的强大数学武器的载体——都是所有实数的集合。这个集合在数学中称为连续统（确切地说，是线性连续统）。完全像培育植物之前必须仔细研究土壤一样，在高等数学中，我们期望热心人应当依靠科学，在以函数关系概念为基础建筑这个科学的整个大厦之前，仔细地研究这个概念赖以生存和发展的载体。这就是为什么在所有认真而科学地编成的数学分析教程中，连续统都是第一个研究对象。且只有充分掌握其本质以及性质之后，我们才可能转而对函数关系概念进行根本的研究。连续统的结构并不像我们初看时设想的那么简单。展现在我们眼前的实数世界是一个复杂的、富含各种各样细节的结构。直到现在，对它作全面的研究仍在继续。