写给全人类的数学魔法书

　　全日本“最佳数学培训学校”校长永野裕之最新力作！
　　“全日本最受欢迎的数学书！”日本亚马逊一般数学类别第1名！
　　冲破惯常的数学学习法，告诉你数学到底是个什么东西，为什么“越是死记硬背公式，就越学不好数学”；
　　详尽介绍10种最基本解题思路，只要熟练掌握，就能轻松应对各种类型数学题，尤其是难度较高的高考真题；
　　回答了“怎样听课”“怎样记笔记”“怎样做练习册”等读者最关心的问题，将作者多年如何学好数学的秘籍倾囊相授；
　　独创性地对数学公式和定理进行推理验证，启发读者抛开刻板的学习方法，不能“只知其一，不知其二”，真正了解数学，对数学开窍。

　　这是一本能真正提高你的数学能力、快速拯救考卷分数的“数学宝典”。全书只讲解了10种基本解题思路，却足够你游刃有余地应对各种初高中数学难题，甚至连那些冷僻的高考试题你也可以轻松拿下。更重要的是，你将通过这10种解题思路，将所有的数学知识融会贯通，形成自己的学习方法，最终对数学开窍！
　　不要再死记硬背枯燥的数学公式和概念了。这本书将完全颠覆你自以为正确的学习方法，让你真正会学数学，爱上数学！

　　永野裕之，拥有20多年教学经验的“数学达人”，现任永野数学私塾校长。这是一所同时面向在校学生和成年人开班的数学培训学校，该校曾被NHK电视台、《日本经济新闻》、《商务杂志》等多家媒体报道，是三所日本全国“最佳数学培训学校”之一。作者反对死记硬背数学公式的传统学习方法，提倡学通、学透，进而领略数学的魅力，真正提高数学能力。

版权信息
序言 为什么你的数学学不好？
第1部 应该怎样学数学？
死记硬背要不得
代替死记硬背的方法
对定理和公式进行验证
“倾听→思考→再教会别人”的三步走
准备一本属于自己的“数学笔记”
第2部 在解题之前应该掌握的知识
在数学当中，使用未知数的原因
去除未知数
拿到数学练习册的做题方法
数学不好的人所欠缺的解题基本功
数学好的人，头脑里面都装了些什么
第3部 遇到任何数学题都能够解答的10种解题的思路
解题思路1“降低次方和次元”
解题思路2“寻找周期和规律性”
解题思路3“寻找对称性”
解题思路4“逆向思维”
解题思路5“与其考虑相加，不如考虑相乘”
解题思路6“相对比较”
解题思路7“归纳性的思考实验”
解题思路8“数学问题的图像化”
解题思路9“等值替换”
解题思路10“通过终点来追溯起点”
第4部 综合习题——10种解题思路的运用
结束语

　　★“数学是人类知识活动留下来的颇具威力的工具，是世间万象的根源。上帝必以数学法则建造宇宙。”　　——笛卡儿

　　★无论遇到任何问题，你都可以搜集线索（解题条件），明确目标（待解问题），运用逻辑判断分析能力（计算过程）来加以解决。在确定问题得到解决之后，你还可以将具体的事情加以抽象分析，从而得出经验，并根据经验归纳出合适的解决办法，以备以后遇到类似问题时参考。这就是学习数学真正的用意。　　——《写给全人类的数学魔法书》

　　序言 为什么你的数学学不好？
　　学习数学的窍门
　　当你翻开这本书的时候，我就能想象得到，学生时代的你，数学成绩一定不怎么样，你在数学方面一定很自卑：
　　“我没有数学方面的才能。”
　　或者，你会这么认为：
　　“数学好的人=有才智、有灵感的人。”
　　认为自己和他们不是一个世界的人？
　　这种想法是错误的！
　　数学家秋山仁老师在他的著作《爱上数学》当中，关于“报考理工大学所需要的能力”说了这样4句话：
　　（1）把自己的鞋子都收拢起来，放到指定的鞋箱子里面；
　　（2）遇到不明白的字词，要拿出辞典来查一查；
　　（3）学会做咖喱饭（不会的话可以照着食谱学）；
　　（4）绘制一张从家到最近车站的地图。
　　为什么这样说？
　　“因为你只要做到以上4点，就具备了报考理工大学所必备的能力。”
　　上述4件事情分别代表了4项基本能力：
　　（1）掌握了对应概念
　　能够把左右两只鞋子都放到相对应的鞋箱子里面，就说明你掌握了一对一的概念。
　　（2）能够理清顺序关系
　　比如“book”这个单词，b是26个英文字母当中的第2个字母，下一个字母o在n的后面，在p的前面……也就是说你掌握了26个英文字母的顺序关系。
　　（3）能够对事情的步骤进行整理、实行和观察
　　准备食材，按照步骤烹饪，并且能够对整个烹饪的过程进行观察。
　　（4）抽象能力的表现
　　能够将三元空间的景象，用二元平面的方式绘制，去除不必要的部分，保留必要的信息，这就是一种抽象能力的表现。
　　上述4项基本能力是几乎每个人都具备的。由此可见，除了那些想要成为数学家，并且能够引领数学界未来的数学天才之外（这样的人想必也不会看我这本书的），一般的人，无论是想要报考理工大学也好，还是处理在实际工作当中遇到的数学问题也罢，都不需要什么特别的“数学才能”。
　　那么，为什么你的数学不好呢？恕我直言，你之所以会数学不好，并不是因为你没有这方面的才能，而是因为你所掌握的学习方法是错误的。
　　我在这本书当中，将对如何掌握正确的学习方法进行阐述。掌握了这套学习方法，你不但是能够学好数学，而且能学得轻松愉快。这套学习方法实际上是把高中时期的我自己作为教学目标，用约20年的指导经验加以研究得出的。而实际的学习效果已经被很多学生给证实了。用我这套学习方法，在短短的几个月之内，数学成绩从全班垫底到全年级第二名的例子不在少数。他们都这样告诉我：
　　“这套学习方法的作用，已经达到了不可思议的程度！”
　　“我从来没想过如此轻松愉快的学数学！”
　　数学差生也能当数学家
　　实际上，我也不是什么科班出身的数学专家。本科是在东京大学读的地球行星物理专业，后来是在宇宙科学研究所读的研。此后也没有在本专业领域内进行发展，而是想要成为一名古典音乐指挥家，后来又参与到西餐厅的经营策划当中去。就这样一直到现在，现如今开了一家名叫“永野数学私塾”的针对性指导培训学校，并担任校长。由此可见，我的人生经历是曲折多变的，然而唯一保持不变的就是我在“数学方面的教育工作”。从刚上大学开始我就担任家庭教师，一直到现在担任数学私塾的校长，前前后后约20年，有针对性的指导了一批又一批的学生。我虽然不是数学专业出身，但自认为是数学教育方面的专家。
　　其实，回想中学时代的我……那时候的数学成绩是绝对谈不上优异的。远远低于全班平均成绩的情况也不是一次两次了。我初中的时候沉迷于棒球，高中的时候沉迷于音乐，学习成绩一直就在班级下游徘徊。这种状态一直持续到高中2年级的冬天（是不是有些迟了！），我意识到：
　　“不能再这样下去了”
　　虽然拿出了这样的信念，但是和周围的同学比起来，我实在是落后得太多太多了。而且这个时候离高考已经不远了，同学们也全都开始认真读书。这种情况下，我意识到：
　　“仅仅是和大家保持一样的学习进度是不行的。有没有那种一下子就能打个翻身仗，超级厉害的学习方法呢？”另外，我还在想：
　　“能不能找到一种轻松愉快的学习方法？”
　　当时我是这么想的，要是在高考之前这一年多里，反复遭受着做习题、考试，考试、做习题的这种学习方法的折磨，那么我是坚决受不了的。
　　学好数学就靠方法
　　当我试着寻找一种适合自己的学习方法的时候，突然想到了这么一点。
　　“为什么人们总是对小说和电影的情节念念不忘呢？”
　　仅仅是读了一遍，看了一遍，就能够从头到尾把故事当中发生的每一件事按照顺序说出来，这是不是很厉害？为什么小说和电影当中的情节那么轻松就记住了？如果能够把这种“原理”运用到数学的学习当中去，想必会有很好的效果，并且让人学得轻松愉快。一想到这里，我就忍不住的兴奋起来。
　　“无需死记硬背”、“抓住故事的梗概”、“学会将所学的知识教给别人”……这就是我在这本书当中将要介绍给大家的“数学学习法”的几个关键点。
　　正因为我找到了适合自己的学习方法，数学成绩才有了显著提高，最终我才考上了东京大学的一类理科。并且，在上了大学之后，这种学习方法仍旧发挥出了它的强大作用，此后的分科选考（东京大学在学生本科二年级的时候，会有一次比入学考试更加严格的专业课“分科选考”）和考研的过程当中，都如同我所期望的那样顺利的通过了。
　　成年人为什么还要学习数学？
　　当我还在做家庭教师的时候，我已经开始给成年人教数学了。一开始在收学生的时候，我就没有特意限制年龄，没想到竟有成年人来报名。从那以后，凡是成年人来报名我就一概不拒绝。直到现如今，更是开办了“成人数学班”，专门教成年人数学，并且还要告诉他们，成年人为什么要学习数学。这也是在教学的过程当中发现的别具趣味性的地方。
　　“都这么大人了，再来学数学还能有什么用？”
　　有这种想法的成年人不在少数（啊，正在读这本书的你想必不是这么想的）。的确，数学当中所涉及到的向量啊、指数函数啊、三角函数等等，在日常的生活当中都用不上。然而，几乎所有的国家都把数学这门课列入义务教育的教学计划当中，这是为什么呢？
　　因为，通过对数学的学习，可以培养一个人的逻辑判断能力（即数学的思考能力），也就是说，能够让人有条理的来分析事情。而掌握了逻辑判断分析的能力之后，可以让别人接受自己的意见，也可以理解别人所提出的不同的意见。
　　此外，当你在解决人际关系上的纠纷，工作上的烦恼，以及环境问题等各种问题的时候，你都必须要找到解决线索，然而这就需要你具有逻辑判断分析的能力，抓住问题的关键点并加以验证和定性，能够客观的分析和对待所遇到的问题。并且，在问题得到解决之后，能够将具体的事情加以抽象分析，从而得出经验，并根据经验归纳出合适的解决办法，以后再遇到类似问题的时候能够以此为参考加以解决。这就是学习数学所真正的用意。
　　就拿日常生活当中的事情来说，音响的接线就要用到数学。阅读家电的说明书，对旅行和工作上的事情进行安排和计划，这些也都需要数学。学习数学并不是为了能够解答练习册上的数学题，更为了提高逻辑判断能力，提高在社会生存当中所需要的“智力”。成年人在工作生活当中，应该能够深切的体会到学数学的必要性。
　　重新感受数学的魅力
　　遗憾的是，学生们并不能认识到学习数学所真正的用意，也不会有感而发的主动去研究数学。仅仅是为了应付一次又一次的定期测验，才死记硬背那些公式和解题方法，勉强去提高数学水平（实际上，用这种死记硬背的方法，多半是不能提高自己的数学水平的）。在许多学生的眼里，数学已经沦落为一门死记硬背的科目。当然了，在这种情况下，什么“逻辑判断力”之类的一点都不要谈，学习数学所应有的意义已经完全丧失了。如果你在学生时代也是这样，那就更应该重新学习，借此机会找到数学真正的魅力！如今你不需要应付考试，也可以自由的安排学习时间，完全是出于兴趣爱好的态度来学习，那么你对数学的认识，将会有180度的大转变。
　　学习数学不需要什么条件，只要有纸和铅笔，立马就能够开始。并且，相对于学生来说，成年人学习数学会更加的轻松，因为成年人拥有更多的人生经验。而对于抽象的事物，要想产生具体的印象，经验可以起到很大的作用。数学的内容，大部分都是抽象的，能够把其中的“含义”和具体的“美感”相结合，我想，这也只有成年人才做得到。
　　“文科生”更要学数学
　　在我学校里面，凡是能够在短期内提高自己的数学水平，摆脱自己不擅长数学境况的学生，都有一个共同点，那就是他们的语文成绩都很好。特别是那些能够写出条理清晰的文章的人，能够把别人的发言用自己的语言来复述的人，都具有很强的逻辑判断能力和资质，只要他们掌握了正确的学习技巧，并且把这些方法和技巧都吃透了，很快，数学水平就提高了。
　　这是因为，人们是用语言来分析事情的，语言是逻辑判断的重要组成部分。所以，在学习数学之前，语言能力是必须要掌握的关键。
　　很多学文科的人都会往自己身上贴标签，认为“我不是学数学的料”。实际上这是一种误解；同样，人们往往会认为数学能力和语文能力是完全相反的，这也是认知层面上的很大的错误。我认为，如果你的语文成绩好的话，在阅读文章和写作方面有自信的话，那么你的数学水平肯定就不会差。
　　本书的使用方法
　　虽然在学习上下了功夫，但是数学成绩一直就提高不上去的情况，一般都发生在初三到高一这个阶段。因为在这一阶段，学生们往往靠得都是死记硬背。那么，在接下来的这本书当中，我将把从初中到高一的数学课程拿出来举例讲解（当中也会有一部分内容超出了这个范围，届时书上会有注明），从而让大家掌握正确的学习方法。
　　为了不让大家产生误解，我要说明一下，本书不是一本初高中数学辅导书，从书名《写给全人类的数学魔法书》就能够看出来，这是一本告诉那些在学生时代数学不好的成年人，为什么你的数学会不好，要想学好数学应该掌握哪些学习方法的书。当你读了这本书之后，如果你感觉到：
　　“啊，这么说的话，我觉得我也能学好数学”
　　那么，根据你所要学习的深度和级别，请你再去读一读相应的数学教科书或者参考书。同时，把我写的这本书放在一旁，当你不知道该怎样学习的时候，看看这本书，也许就能找到实用的“学习技巧”。
　　虽说这本书是“针对成年人”的，但是我建议那些正在和数学做着殊死搏斗的高中生们也来看看，按照书上的学习方法来做，你的数学成绩肯定会有大幅度提高。拿起数学这门武器，顺利考上大学，这将不再是一个遥不可及的梦想。
　　这本书最大的亮点，就是第三部分的“适用于任何数学题的10种解题方法”。不是说让你去死记硬背这些解题方法，而是在解题的时候能够找到属于自己的方法，掌握了这10种解题方法，就像是拿到了十把传世宝刀一样。你几乎可以解决任何的数学问题。你在读完这本书之后，不妨自己试一试。
　　我希望能通过这本书，让那些数学不好的人，不再感到自卑，让每一个人都能够了解数学，享受数学，从而轻松愉快的掌握数学。

　　应该怎样学数学？
　　死记硬背要不得
　　学数学的诀窍———“记不住”
　　“学习数学都有哪些诀窍啊？”
　　每次有人提出这个问题的时候，我都会这样回答：
　　“学习数学的诀窍就在于‘记不住’这三个字。”
　　我之所以会这么说，是有深层次含义在里面的。
　　当人们想要记住某件事情的时候，他就不再思考了。
　　“为什么是这样？”
　　“为什么要用这种方法解题？”
　　“真的是这样的吗？”
　　因为停止了思考，像这一类的疑问也就不再产生了。
　　很多人一想到数学就头疼，认为学数学就是死背公式和解题方法。实际上，
　　通过记住数学公式和解题方法来解题，这和学习数学的本意是相背驰的，这样是肯定学不好数学的。
　　为什么要学数学？
　　“为什么非得学数学呢？”
　　你是不是也有这样的疑惑呢？
　　确实，在数学当中有很大的一部分内容，像三角函数、数列、向量这些东西，都和我们日常生活联系不上。既然如此，为什么几乎所有的发达国家都把数学列为义务教育当中的必修科目呢？
　　我认为，提高一个人的数学水平，就是在提高一个人的逻辑判断能力。通过对数学的学习，使你能够发现事物的内在规律和本质。
　　这是精神层面上的提高和养成，使你能够有条理地去思考每一件事情，我认为这才是学习数学真正的目的，而三角函数也好，向量也好，因数分解也好，都是一种形式，其根本目的还是在于培养一个人的逻辑判断能力，如果你养成了一
　　看到什么就想背下来的毛病，那么对逻辑判断能力的提高是有很大阻碍的。
　　为了不失去学习数学的本意，理解数学学习的本质，请不要再“死记硬背”。
　　在这里，请让我引用一段我最喜欢的爱因斯坦的名言：
　　“能忘掉在学校学到的知识，才算是教育。因为在校园里接受的只是最基础的教育，学到的只是书本上的知识。要想真正学到人生最有用的知识，就要自己去感悟，在实践中获得经验与灵感。”
　　数学=枯燥乏味？
　　请你回忆一下，学生时代的你，在每次快要考试之前，是怎样学习数学的呢？
　　是不是每次都先去背那些定义、公式和解题方法，然后再大量做题？
　　像这种定期测验的题目，往往和教科书以及练习册上的题目大同小异。老师在出题的时候，考虑到的不是学生们的数学能力，而是要检测他们在这一段时间内的勤奋程度。至少，在历年的高考数学当中，你是找不出什么“新气象”的。
　　此外，强制性地去背那些数学定义和公式，它们就会失去原本的魅力，沦落为枯燥乏味的数字符号的排列。
　　没有任何用处，又没有任何意义的事情，自然就会令人觉得枯燥乏味。我想还没有哪个人能把乏味的事情做得有声有色。
　　不要去记解题方法
　　有没有一种既能扎扎实实地学好数学，又能在学习过程当中尽可能让人轻松愉快的方法呢？
　　答案是：有的，那就是你不要“总想着去记住它”。
　　也就是说，在你学习一样新东西的时候，尽量不让自己去刻意地死记硬背，而是要找出它们背后所蕴含的“原理”。
　　想必大家都知道求三角形面积的数学公式，那么我们就拿这个公式来举例子，探讨一下如何“不去刻意地记住它”。
　　求三角形面积的数学公式：
　　底×高÷2
　　求三角形面积的数学公式是这样的吧？那么为什么通过这个公式就能求得三角形的面积呢？
　　“这个问题我倒是没有想过……”
　　“我上小学的时候，老师就是这么教的……”
　　这就是错误的数学学习方法的开端。
　　当然，也有人会回答：
　　“那是因为三角形的面积是相对应的四边形面积的一半。”
　　那么我又要问了：
　　为什么四边形的面积运算公式就是“底×高”呢？
　　要想回答出这个“为什么”，你就必须对计算面积的数学定义有着深刻的理解和认识。
　　如果不想死记硬背数学定义和公式，那么在一开始，你就必须要找出它背后所蕴藏的“原理”。另外，你不能只是理解这么一个数学定义，还要搞明白它与其他的数学定义之间有着怎样的联系，这就需要你对这些原理有着全面性的掌握。
　　再者，当你掌握了数学公式背后所蕴含的原理的同时，好奇心也得到了极大的满足。你自然会感觉到：
　　“哦，原来是这么一回事！”
　　“还真是有意思啊！”
　　继而觉得其实学习数学也很有趣，这也是“不死记硬背”的学习方法所能带来的趣味性。当你搞懂了某个数学公式背后的原理之后，想一想，如何才能活学活用，而不是刻意去死记硬背，这就是学习数学的关键诀窍。
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