数学分析新讲·第2册

　　《数学分析新讲（第2册）》的前身是北京大学数学系教学改革实验讲义。改革的基调是，强调启发性，强调数学内在的统一性，重视学生能力的培养。书中不仅讲解数学分析的基本原理，而且还介绍一些重要的应用（包括从开普勒行星运动定律推导万有引力定律）。从概念的引入到定理的证明，书中作了然费苦心的安排，使传统的材料以新的面貌出现。书中还收入了一些有重要理论意义与实际意义的新材料（例如利用微分形式的积分证明布劳沃尔不动点定理等）。
　　全书共三册。第一册内容是：一元微积分，初等微分方程及其应用。第二册内容是：一元微积分的进一步讨论，广义积分，多元函数微分学，重积分。第三册内容是，微分学的几何应用，曲线积分与曲面积分，场论介绍，级数与含参变元的积分等。
　　本书可作为大专院校数学系数学分析基础课教材或补充读物，又可作为大、中学教师，科技工作者和工程技术人员案头常备的数学参考书。

第三篇 一元微积分的进一步讨论
第八章 利用导数研究函数
第九章 定积分的进一步讨论
第十章 广义积分
第四篇 多元微积分
第十一章 多维空间
第十二章 多元微分学
第十三章 重积分

　　第三篇　一元微积分的进一步讨论
　　第八章　利用导数研究函数
　　§ 1　柯西中值定理与洛必达法则
　　本节介绍拉格朗日中值定理的一种推广——柯西中值定理，并运用这种新形式的中值定理推导关于未定型极限的洛必达（L'Hospital）法则．
　　1.a　柯西中值定理
　　我们知道，拉格朗日中值定理的几何意义是：在显式表示的可微曲线段上，至少存在一点，该点的切线平行于联结这曲线段两端的弦．如果考查参数表示的可微曲线段
　　那么从几何直观上可以判断，在这曲线段上也至少存在一点（相应于介于α和β之间的一个参数值τ），该点的切线平行于联结这曲线段两端的弦，即：
　　这一结果就是著名的柯西中值定理．
　　定理（柯西中值定理）　设函数f（x）和g（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，并且满足条件
　　则存在ξ∈（a，b）使得
　　证明　由条件（1.1）可知
　　因而商式
　　有意义．我们来考查辅助函数
　　容易验证：F在[a，b]连续，在（a，b）可导，并且
　　于是，根据罗尔定理，存在ξ∈（a，b），使得
　　由此得到
　　1.b　未定式
　　如果已经知道
　　那么除去某些例外情形，我们可以利用下面的运算法则去求和、差、积、商及幂-指数式的极限（假定在之中函数的运算有意义）：
　　对于以上各条，所说的例外情形分别是：
　　（ⅰ）在（1）中A与B为异号无穷大；
　　（ⅱ）在（2）中A与B为同号无穷大；
　　（ⅲ）在（3）中A与B之一为0，另一为无穷大；
　　（ⅳ）在（4）中A与B同时为0或者A与B同时为无穷大；
　　（ⅴ）在（5）中A＝1，B＝∞，或者A＝0，B＝0，或者A＝∞，B＝0．
　　这些例外情形所涉及的极限类型统称为未定型．类型（i）或（ⅱ）被称为未定型．类型（ⅲ）被称为0·∞未定型．（ⅳ）中的两种极限类型分别被称为未定型与未定型．（ⅴ）中的三种类型分别被称为1∞未定型，00未定型与∞0未定型．
　　未定型的极限式被称为未定式．对于未定式，上面列举的运算法则（1）～（5）失去效用，必须另寻解决问题的途径．下面将要介绍的洛必达法则，在一定的条件下，提供了确定未定型极限的有效办法——通常称为未定式的定值法．